数学笔记

 
\[证明\ln\sqrt{2n+1}<\sum_{i=1}^n\frac{1}{2i-1}\le1+\ln\sqrt{2n-1}\\ 解: 先证明\ln\sqrt{2n+1}<\sum_{i=1}^n\frac{1}{2i-1}\\ 将\ln\sqrt{2n+1}(利用S_n-S_{n-1}=a_n)写成累加形式\\ 得\ln\sqrt{2n+1}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\ln\frac{2i+1}{2i-1}\\ *_1 即证明\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\ln\frac{2i+1}{2i-1}<\sum_{i=1}^n\frac{1}{2i-1}\\ 故试证明\frac{1}{2}\ln\frac{2x+1}{2x-1}<\frac{1}{2x-1}对\forall x\ge1成立\\ 记f(x)=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2}\ln\frac{2x+1}{2x-1},(x\ge1)\\ 有f(1)=1-\frac{1}{2}\ln{3}>0, f'(x)=\frac{-4}{(2x+1)(2x-1)^2}<0, \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\\ 故\frac{1}{2}\ln\frac{2x+1}{2x-1}<\frac{1}{2x-1}对\forall x\ge1成立得证,两边同时累加,即左式得证\\ \\\\ 再证明\sum_{i=1}^n\frac{1}{2i-1}\le1+\ln\sqrt{2n-1}\\ 这里为方便起见, 两边同时减去1\\ 可改为证明\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{2k+1}\le\ln\sqrt{2k+1},k\in\mathbb{N^*}\\ *_2 即证明\sum_{i=1}^k\frac{1}{2k+1}\le\frac{1}{2}\sum_{i=1}^k\ln\frac{2k+1}{2k-1}\\ 同理(*_1)可得右式成立,故题得证\]

通过寻找累加(乘)式来试证每一项的大小关系满足题意,回推使题目得证,避免无脑构造函数。