计算机电路基础笔记(一)

 

介绍

在学习《计算机电路基础(第三版)》的过程中一进入3.2节就觉得晦涩难懂了,在对课本进行较浅的理解后我决定通过自己的解释让学习的过程更加顺畅,故在此写下这篇文章,有错之处多多包涵

前置知识

一、复数和其四则运算的几何解释

我们知道对于一个复数,我们可以将其表示为

\[z=a+bi,(a,b\in\mathbb R)\\\]

我们也可以在复平面中将其表示出来

在此,我们引入两个新概念,复数的模长和辐角。上图中,模长和辐角分别为

\[l=\sqrt{a^2+b^2}, \varphi=\arctan\frac{b}{a}\\\] \[【该定义与数学里的定义不同,实际上\arctan x的值域为(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2),也就是只在第一和第四象限上符合,\\ 但这里一般规定辐角\varphi\in[0,2\pi),故其严谨表述为『辐角是x正半轴绕原点逆时针旋转至与目标复数重合的最小角度』】\\\]

但要随机应变的嘛,所以我们的俯角只要保证是同一个角即可

同时,在实际运算中会遇到模长为负的情况,这里规定负的模长和其反方向的正模长等价

在高中数学中,我们已经学过复数可以视作向量,复数的加减法运算和向量的加减法运算在一定程度上是等价的,故不讨论复数加减法运算的几何意义

现在我们来讨论复数乘除的几何意义

\[【例1】(2+i)\cdot i=-1+2i,如下图\\\]
\[从复平面上看,2+i逆时针旋转了\frac{\pi}{2}\\\] \[【例2】(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt3i)=4i,如下图\\\]
\[从复平面上看,两者辐角相加,模长相乘\\\] \[\begin{aligned} 证明:  &设z_1对应l_1,\varphi_1, z_2对应l_2,\varphi_2,\\ &\begin{aligned} 则z_1\cdot z_2&=l_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\cdot l_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\ &=l_1l_2[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)] &\end{aligned}\\ &故z_1\cdot z_2对应l_1l_2,\varphi_1+\varphi_2,即得证 \end{aligned}\]

故复数相乘,辐角相加,模长相乘;同理复数相除,辐角相减,模长相除

二、辅助角公式

\[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a²+b²}\sin{(x+\arctan\frac ba)},a>0\\ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a²+b²}\cos{(x-\arctan\frac ab)},b>0\]

三、欧拉公式

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]

讲解部分

一、前置知识与课本的衔接

课本P39中

\[\begin{aligned} &u=U_m\sin(\omega t+\varphi)\\ &用相量表示为\\ &\dot{U}=U(\cos\varphi+i\sin\varphi)=Ue^{i\varphi}=U\angle\varphi\\ \end{aligned}\]

可以发现其实就是将其模长(注意这里应该是最大值)和辐角表示出来了,而原式中ωt是指当时间流动时,向量U绕原点O以角速度ω逆时针旋转

(根据例1,有理由说iR∠φ=R∠(φ+90°))

这里的ωt被隐去了,而ω一般在题干中给出

使用例:

\[\begin{aligned} 【例3】&已知i_1=100\sqrt2\sin\omega t (\mathrm A),i_2=50\sqrt2\sin(\omega t-\frac\pi3)(\mathrm A),求i=i_1+i_2\\ 解:&用相量(这里是最大值)表示i_1为\dot{I_1}=100\sqrt2\angle0,用相量表示i_2为\dot{I_2}=50\sqrt2\angle\frac{-\pi}3\\ &\begin{aligned} 故\dot{I_1}+\dot{I_2}&=100\sqrt2(\cos0+i\sin0)+50\sqrt2(\cos\frac{-\pi}3+i\sin\frac{-\pi}3)\\ &=100\sqrt2[(\cos0+\frac{\cos\frac{-\pi}3}{2})+i(\sin0+\frac{\sin\frac{-\pi}3}{2})]\\ &=125\sqrt2-i\cdot25\sqrt6 &\end{aligned}\\ &我们来求它的模,也就是和的最大值,I=\sqrt{(125\sqrt2)^2+(-25\sqrt6)^2}=50\sqrt{14}\\ &它的幅角为\arctan\frac{-25\sqrt{6}}{125\sqrt2}=\arctan\frac{-\sqrt{3}}{5},(这里的角为负,而且很幸运在第四象限)\\ &结果为i=50\sqrt{14}\angle\arctan\frac{-\sqrt3}{5}(\mathrm A) \end{aligned}\]

当然你也可以用初中方法解该题

注:课本上使用的相量是有效值,故最终解得的也是有效值,在以后的计算中我们未经解释均取有效值,因为算的功率都是有效值,不会让你求瞬时值

二、电阻

电阻是我们从初中开始就接触的最简单的电子元件,没有什么稀奇古怪的东西,I·R=U是我们学过的简单式子,但注意在这里的IU其实都是放在复平面里的向量,于是可以看出IU在复平面中方向相同(毕竟R是个非负的实数嘛),那我们的功率呢?

我们说功率是电流和电压的乘积,那么是点乘还是叉乘呢?很明显,如果是叉乘,光是电阻的功率就不合实际(算出来的总是0嘛),所以,我们认为电阻的功率公式为

\[P=I_{有效值}\cdot U_{有效值}\]

三、电感

从这里开始内容就开始难以理解了,不过相信我们自己吧

首先,我们首先达成一个共识,在电感中,电流是主动的,电压是被动的

当线圈通过电流后,在线圈中形成磁场感应,感应磁场又会产生感应电流来抵制通过线圈中的电流。——百度百科

达成这个共识后我们开始我们的推导

\[\begin{aligned} I(t)=&I_{max}\sin(\omega t+\varphi)=I_{max}\angle\varphi\\ \mathit\Phi(t)=&L\cdot I(t)       (注意这里的\mathit\Phi是总磁通量)\\ U(t)=&\frac{d\mathit\Phi}{dt}=LI^{'}(t)\\ =&L\omega \cdot I_{max}\cos(\omega t+\varphi)\\ =&L\omega \cdot I_{max}\sin(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})\\ =&L\omega \cdot I_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ \end{aligned}\\\]

这里只是简单的推导了一下,不过不难看出,I(t)图像是正弦,U(t)图像是余弦,两者有90°的相位差

故这里主动为正弦,被动为余弦,同时,我们在复平面中,可以看出随着时间的推移(也就是U和I都在逆时针旋转时),I是追着U的,咳咳,谁是主动不用说吧,这里也和我们之前的共识相符

那我们自然而然的想到这里的阻值应该是多少,若根据电阻里的公式,会发现不存在这样的常数R使得两者有90°的夹角

那么我们有理由相信这里的阻值是一个复数(还记得例1吗),那我们就来找这样的一个R满足题意

\[\begin{aligned} R\cdot I_{max}\angle\varphi&=U_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ &=L\omega I_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ &=i\cdot L\omega \cdot I_{max}\angle\varphi\\ \end{aligned} \Rightarrow  R=i\cdot \omega L=i\cdot X_L\\\] \[这里也就有了(3-17)中的\dot{U}=\dot{I}\cdot R=\dot{I}\cdot iX_L,(其中X_L=\omega L)\\\]

在此,我愿称R为复阻值(我们可以看到书上习题部分标在电感上的阻值都是复阻值),X_L为感抗

最后计算电感的平均功率

\[P=\textbf I·\textbf U=IU\cos<\textbf I,\textbf U>=0\]

四、电容

和电感类似,我们首先达成一个共识,在电容中,电压是主动的,电流是被动的

当电压施加于电容后,在电容中形成电场,电场使得电子转移产生电流来抵制电压。——我自己说的

达成这个共识后我们开始我们的推导

\[\begin{aligned} U(t)=&U_{max}\sin(\omega t+\varphi)=U_{max}\angle\varphi\\ Q(t)=&C\cdot U(t)\\ I(t)=&\frac{dQ}{dt}=CU^{'}(t)\\ =&C\omega \cdot U_{max}\cos(\omega t+\varphi)\\ =&C\omega \cdot U_{max}\sin(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})\\ =&C\omega \cdot U_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ \end{aligned}\\\]

同样不难看出,U(t)图像是正弦,I(t)图像是余弦,两者有90°的相位差

故这里也是主动为正弦,被动为余弦,同时,我们在复平面中,可以看出随着时间的推移(也就是U和I都在逆时针旋转时),U是追着I的

同理我们相信这里的阻值是一个复数,那我们就来找这样的一个R使得

\[\begin{aligned} &R\cdot I_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ =&R\cdot C\omega U_{max}\angle(\varphi+\frac\pi2)\\ =&i\cdot RC\omega \cdot U_{max}\angle\varphi=U_{max}\angle\varphi\\ \end{aligned} \Rightarrow R=-i\frac1{\omega C}\] \[这里也就有了(3-21)中的\dot{U}=\dot{I}\cdot R=\dot{I}\cdot -iX_C,(其中X_C=\frac1{\omega C})\\\]

在此,我愿称R为复阻值(我们可以看到书上习题部分标在电容上的阻值都是复阻值),X_C为容抗

最后计算电容的平均功率

\[P=\textbf I·\textbf U=IU\cos<\textbf I,\textbf U>=0\]

五、电阻、电容与电感串联的交流电路

我们直接利用复平面进行一个解释

\[\begin{aligned} &【图中省略了\textbf U】\\ &其中,|\textbf R_\textbf L|-|\textbf R_\textbf C|=X_L-X_C称为电抗,偏向哪方即哪方性电路,没有就是阻性电路\\ &\textbf Z =\textbf R_\textbf L +\textbf R_\textbf C +\textbf R_\textbf R称为复阻抗,显然复阻抗的辐角\phi即\textbf I逆时针旋转至\textbf U的角度(可负),|\textbf Z|为阻抗模,即阻抗\\ &注意\textbf R_\textbf L ,\textbf R_\textbf C ,\textbf R_\textbf R三者的方向永远在y轴正半轴,y轴负半轴,x轴正半轴上\\ &而\textbf U_\textbf L ,\textbf U_\textbf C ,\textbf U_\textbf R三者的方向分别为\textbf I逆时针旋转90°,\textbf I顺时针旋转90°,\textbf I方向上\\ \\ &平均功率(其实就是电阻功率)P=I_{有效值}U_{有效值}\cos\phi\\ &无功功率(其实就是电抗功率)Q=I_{有效值}U_{有效值}\sin\phi\\ &视在功率(其实就是表面功率)S=I_{有效值}U_{有效值}=\sqrt{P^2+Q^2}\\ \end{aligned}\]

六、串并联和电压电流分配公式

我们从初中就学过电阻的串并联以及其电压电流的分配公式(在此也不再赘述),而到了大学,这里的阻值我们代入的都是前面提到的复阻值,所以不用担心,直接带入就是了。

七、个人认为要记的式子

\[\begin{aligned} &(1) Z=R+i(\omega L-\frac1{\omega C})\\ &(2) a\angle\varphi_1\cdot b\angle\varphi_2=ab\angle(\varphi_1+\varphi_2)\\ &(3) \frac{a\angle\varphi_1}{b\angle\varphi_2}=\frac ab\angle(\varphi_1-\varphi_2)\\ \end{aligned}\]

八、个人建议

  1. 能不用j表示复数就不用,因为我们习惯使用i作为虚数单位了
  2. 当我们根据某个原件的电压或电流要来求输入的电压或电流时,推荐设U=a+bi(a,b∈R),或I=a+bi(a,b∈R),而不是模长和辐角
  3. 当你要判断电路是阻性、感性还是容性时,给出的如果是I,U的模长和辐角形式,则在复平面里画画看谁追谁就行了(善用复平面)

后记

以上内容只是为了理解物理原理,在一定程度上加深认识,但这不意味着就能帮到习题的各个方面,希望这些内容能够有所帮助。