计算机电路基础补充(一)

 

介绍

这里用我们看的懂得的方法来解P73的(4-5)式

解法

\[\begin{aligned} \because\qquad&RCu'(t)+u(t)=U\\ \therefore\qquad& RCu''(t)+u(t)=0 \qquad\Rightarrow\qquad-\frac1{RC}=\frac{u''(t)}{u'(t)}\\ \therefore\qquad& -\frac t {RC}=\int \frac{u''(t)}{u'(t)}dt=\int [\ln u'(t)]'\mathrm{d}t=\ln u'(t)+C_1\qquad(C_1为常数)\\ \therefore\qquad& u'(t)=e^{-\frac t{RC}-C_1}\\ \therefore\qquad& u(t)=\int u'(t)\mathrm dt=-RCe^{-\frac t{RC}-C_1}+C_2\qquad(C_2为常数)\\ &接下来要来求C_1,C_2\\ \because\qquad&u(0)=U_0\qquad\Rightarrow\qquad e^{-C_1}=\frac{U-U_0}{RC}\\ &\lim_{x\to+\infty}u(t)=U\qquad\Rightarrow\qquad C_2=U\\ &\begin{aligned} 故代入得u(t)&=-RC\cdot\frac{U-U_0}{RC}e^{-\frac t{RC}}+U\\ &=U+(U_0-U)e^{-\frac {t}{\tau}}\qquad(其中\tau=RC) &\end{aligned} \end{aligned}\]