计算机电路基础补充(二)

 

介绍

我们对电容和电感的认识尚浅,在此我们推导一些常用式子

一、电容

电容在直流和交流下都有意义,我们以下推导对直流和交流都成立

1.电容并联的等效电容

如图所示,在其两边电压为U时,有

\[U_{C_1}=U_{C_2}=U\\ Q_{C_1}=C_1\cdot U_{C_1}=C_1\cdot U\\ Q_{C_2}=C_2\cdot U_{C_2}=C_2\cdot U\\ Q=Q_{C_1}+Q_{C_2}\Rightarrow Q=(C_1+C_2)U\\ \therefore C_等=\frac QU=C_1+C_2\\\]

将上式推广至n个电容并联,有

\[C_等=\sum_{i=1}^{n}C_i\]

故电容并联的等效电容为各个电容之和

2.电容串联的等效电容

如图所示,如图所示,在其两边电压为U时,由于储电的过程中电流处处相等,故有

\[\left\{ \begin{aligned} Q_{C_1}&=C_1\cdot U_{C_1}\\ Q_{C_2}&=C_2\cdot U_{C_2}\\ U&=U_{C_1}+U_{C_2}\\ \end{aligned}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} U_{C_1}=U\frac{C_2}{C_1+C_2}\\ U_{C_2}=U\frac{C_1}{C_1+C_2}\\ \end{aligned}\right.\\ \right.\\\\ 注意,Q\ne Q_{C_1}+Q_{C_2},因为C_1右板和C_2左板电荷抵消,实际上Q= Q_{C_1}=Q_{C_2}\\ \therefore \frac1{C_等}=\frac UQ=\frac U{C_1\cdot U_{C_1}}=\frac U{U\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}\\\]

将上式推广至n个电容串联,有

\[\frac1{C_等}=\sum_{i=1}^{n}\frac1{C_i}\]

故电容串联的等效电容的倒数为各个电容倒数之和

3.电容的电压与电流的关系

我们知道,

\[\left\{ \begin{aligned} Q(t)&=CU(t)\\ Q'(t)&=I(t)\\ \end{aligned} \right.\Rightarrow I(t)=CU'(t)\]

和我们之前讲的一致——对于电容,电压主动变化得到了被动的电流

4.小结

\[并联:C_等=\sum_{i=1}^{n}C_n\\ 串联:\frac1{C_等}=\sum_{i=1}^{n}\frac1{C_n}\\\\ 串联分压公式:\left\{ \begin{aligned} U_{C_1}=U\frac{C_2}{C_1+C_2}\\ U_{C_2}=U\frac{C_1}{C_1+C_2}\\ \end{aligned}\right.\\\\ 电压与电流的关系:I(t)=CU'(t)\]

二、电感

由于电感在直流条件下没有意义,故我们讨论交流情况,同时我们认为电感之间的磁场没有相互作用

1.电感串联的等效电感

如图所示,假定电流从左方流向右方

\[\left\{ \begin{aligned} U_{L_1}=L_1\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\\ U_{L_2}=L_2\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\\ \end{aligned} \right.\Rightarrow U=U_{L_1}+U_{L_2}=(L_1+L_2)\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} \\ \therefore L_等=L_1+L_2\]

将上式推广至n个电感串联,有

\[L_等=\sum_{i=1}^{n}L_i\]

故电感串联的等效电感为各个电感之和

2.电感并联的等效电感

如图所示,假定电流从左方流向右方

\[\left\{ \begin{aligned} U_{L_1}&=L_1\frac{\mathrm dI_{L_1}}{\mathrm dt}\\ U_{L_2}&=L_2\frac{\mathrm dI_{L_2}}{\mathrm dt}\\ U&=U_{L_1}=U_{L_2} \end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \mathrm dI_{L_1}=\frac U{L_1}\mathrm dt\\ \mathrm dI_{L_2}=\frac U{L_2}\mathrm dt\\ \end{aligned}\right.\\\\ \therefore \mathrm dI=\mathrm dI_{L_1}+\mathrm dI_{L_2}=(\frac U{L_1}+\frac U{L_2})\mathrm dt\\ 又\because U=L_等\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\Rightarrow \frac{1}{L_等}=\frac 1U\cdot\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\\ \therefore \frac 1{L_等}=\frac 1{L_1}+\frac 1{L_2}\]

将上式推广至n个电感并联,有

\[\frac 1{L_等}=\sum_{i=1}^n\frac 1{L_i}\]

故电感并联的等效电感的倒数为各个电感倒数之和

3.电感的电压与电流的关系

\[U(t)=LI'(t)\\\]

推导在书上了啦

4.小结

\[串联:L_等=\sum_{i=1}^{n}L_i\\ 并联:\frac 1{L_等}=\sum_{i=1}^n\frac 1{L_i}\\\\ 并联分流公式:\left\{ \begin{aligned} I_{L_1}=I\frac{L_1}{L_1+L_2}\\ I_{L_2}=I\frac{L_2}{L_1+L_2}\\ \end{aligned}\right.\\\\ 电压与电流的关系:U(t)=LI'(t)\]

总结

注意我们这里的推导并不是全部就能死套进题目的哦,只有当题目条件符合我们推导内容的前提时才可以得出这样的结论哦